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 Problème casse tête...Sujet résolu
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Gustavefl
  Posté le 30/10/2010 @ 18:08 
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Astucien

TLM,

Je tombe sur un problème qui me fait sécher lamentablement ! J'ai un peu honte... mais que voulez-vous...

Pouvez vous m'aider à le résoudre. Je précise que c'est un problème qui a été posé à des élèves de 4ème...

Merci pour votre attention.

Problème :

Voici, ci-dessus, les 4 premiers éléments d'une suite.

Etablir une formule qui permet de calculer le nombre de carrés contenus dans un élément de ce type s'il contient

n carrés sur la longueur du bas.

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jerone
 Posté le 30/10/2010 à 19:19 
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Nouvel astucien

la formule est la suivante :

nombre de carrés = n * (n+1)/2

jerone
 Posté le 30/10/2010 à 19:22 
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Nouvel astucien

Pour que ce soit plus clair, on peut l'écrire ainsi :

nombre de carrés = [n * (n+1)]/2

Gustavefl
 Posté le 30/10/2010 à 19:57 
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Astucien

jerone,

Merci !

Peux-tu développer STP ?

jerone
 Posté le 30/10/2010 à 20:35 
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Nouvel astucien

Si tu écris la formule dans l'ordre croissant tu as :

Tn = 1+2+3+4+...(n-3)+(n-2)+(n-1)+n

Si tu écris la formule dans l'ordre décroissant tu as :

Tn = n+(n-1)+(n-2)+(n-3)+(n-4)+...+3+2+1

Si tu additionnes les termes des deux formules ci-dessus tu obtiens :

2Tn=(1+n)+(2+n-1)+(3+n-2)+(4+n-3)... +(n-3+4)+(n-2+3)+(n-1+2)+(n+1)

Ce qui nous donne : 2Tn = (n+1)*n

D'où : Tn = [(n+1)*n]/2

CQFD

Gustavefl
 Posté le 30/10/2010 à 21:02 
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Astucien

Merci encore !

J'avoue être passé très loin de la solution. Décidément... Je me fais vieux

> Si tu écris la formule dans l'ordre décroissant tu as :

Tn = n+(n-1)+(n-2)+(n-3)+(n-4) Pour 5 carres en bas, jusqu'ici je suis d'accord. Mais après -> +...+3+2+1 -> ??? je ne pige plus !

> Additionner les termes des 2 formules... - > Fallait trouver !

Bref ! (Comme disait Pépin )

Est-ce vraiment du niveau 4ème ?

koopa
 Posté le 31/10/2010 à 21:37 
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Astucien

{#}bonsoir,

la formule peut paraitre compliquée comme ca, mais elle toute logique!

A l'école j'utilisais x plutot que n.

Gustavefl
 Posté le 01/11/2010 à 16:35 
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Astucien

koopa a écrit :

la formule peut paraitre compliquée comme ca, mais elle toute logique!

Oui... Bien sûr... Quand on la voit trouvée... et écrite... par un autre !

A l'école j'utilisais x plutot que n.

X ou n... ça ne change rien... La formule... fallait la touver !!! Surtout additionner la formule montante à la formule descendante... alors là... moi je reste admiratif !

Bravo à jerone !



Modifié par Gustavefl le 01/11/2010 16:38
ferrand
 Posté le 01/11/2010 à 21:24 
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  Astucien

Bonsoir,

Tu aurais pu y parvenir d'une façon légèrement différente, en observant la régularité de la progression d'une figure à l'autre : d'une part, chaque figure forme avec la précédente un carré complet, donc son nombre d'éléments est égal au carré de son rang diminué du nombre d'éléments de la figure précédente ; d'autre part, chaque figure est la précédente à laquelle on ajoute un rang en diagonale, soit le même nombre de petits carrés que le rang de la figure.

Soit E le nombre d'éléments d'une figure, on aura donc:

E(n) = n² - E(n-1)

E(n) = n + E(n-1)

L'addition donnera : 2 E(n) = n² + n

Et on rejoint la brillante démonstration de jerone : [ n (n + 1) ] / 2

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Gustavefl
 Posté le 02/11/2010 à 09:20 
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Astucien

ferrand a écrit :

Tu aurais pu y parvenir d'une façon légèrement différente, en observant la régularité de la progression d'une figure à l'autre : d'une part, chaque figure forme avec la précédente un carré complet, donc son nombre d'éléments est égal au carré de son rang diminué du nombre d'éléments de la figure précédente ; d'autre part, chaque figure est la précédente à laquelle on ajoute un rang en diagonale, soit le même nombre de petits carrés que le rang de la figure.

Soit E le nombre d'éléments d'une figure, on aura donc:

E(n) = n² - E(n-1)

E(n) = n + E(n-1)

L'addition donnera : 2 E(n) = n² + n

Et on rejoint la brillante démonstration de jerone : [ n (n + 1) ] / 2

ferrand,

Effectivement, ta méthode m'apparait plus accessible d'autant que j'avais observé les progressions sans pouvoir les mettre en équation...

Bien que le sujet soit cloturé, ma question reste posée : Est-ce vraiment du niveau 4ème ?...

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